Wprowadzenie do całki oznaczonej
Intuicyjnie całkę oznaczoną można opisać jako sposób na obliczenie pola powierzchni między wykresem funkcji \( f(x) \) w określonym przedziale, gdzie wartości znajdujące się powyżej osi \( x \) mają wartość dodatnią, a poniżej ujemną.
Metody obliczania całek oznaczonych
Jest wiele metod aby w przybliżeniu obliczyć całki, jednak jedną z najprostszych i najbardziej intuicyjnych jest metoda numeryczna, która polega na zsumowaniu wielu mniejszych częsci np. pól prostokątów, trapezów czy parabol. Na tej podstronie przedstawię kilka najpopularniejszych metod numercznych
Metoda Prostokątów
Jest to najprostsza metoda która polaga na narysowaniu określonej liczby jednakowo szerokich prostokątów o wysokościach jednakowych jak wykres funkcji który znajduje się na miejscu tego prostokąta. Można ją zapisać w formie wzoru:
\[ \int_{a}^{b} f(x) \,dx \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x \]
Jej największą zaletą jest prostota, a wadą brak dokładności.
Metoda trapezów
Ta metoda jest podobna do metody prostokątów, jednak posiada znaczące usprawnienie w postaci aprosymacji liniowej w każdym z podprzedziałów (czyli narysowanie prostej pomiędzy dwoma końcami podprzedziału, co daje nam trapez) co znacząco zwiększa dokładność obliczeń. Metodę opisuje następujący wzór:
\[ \int_{a}^{b} f(x) \,dx \approx \frac{\Delta x}{2} \sum_{i=1}^{n} \left( f(x_i) + f(x_{i+1}) \right) \]
Jest ona bardziej dokładna od metody Prostokątów, jednak jest również bardziej skomplikowana
Metoda Parabol (Simpsona)
Metoda paraboli działa na również na zasadzie aproksymacji podprzedziałów, jednak za pomocą paraboli a nie prostych co dodatkowo zwiększa dokładność. Można ją opisać wzorem:
\[ \int_{a}^{b} f(x) \,dx \approx \frac{\Delta x}{3} \sum_{i=1,3,5,...}^{n-1} \left( f(x_i) + 4f(x_{i+1}) + f(x_{i+2}) \right) \]
jest ona niezwykle dokładna ale również dość skomplikowana pod względem obliczeniowym
Zastosowanie całki oznaczonej
- Obliczanie zużycia paliwa: Całkując chwilowe zużycie paliwa \( F(v) \) względem czasu, możemy znaleźć całkowite spalanie.
- Pomiar ilości wody w zbiorniku: Całkując przekroje poprzeczne zbiornika \( A(h) \), możemy obliczyć objętość wody.
- Obliczanie przebytych odległości: Jeśli znamy prędkość \( v(t) \), możemy obliczyć drogę \( s = \int v(t) dt \).
- Średnie zużycie energii: Całkując chwilową moc \( P(t) \), możemy określić zużycie energii.
- Analiza ekonomiczna: Całkowanie funkcji przychodu \( R(t) \) pozwala określić całkowity dochód firmy.
Wizualizacja w Geogebrze
Metoda Prostokątów:
Metoda trapezów:
Implementacja w C++
Oto kod C++ obliczający całkę metodą prostokątną:
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
double obliczCalkeProstokatna(double (*funkcja)(double), double poczatek, double koniec, int liczbaPodzialow) {
double szerokosc = (koniec - poczatek) / liczbaPodzialow;
double suma = 0.0;
for (int i = 0; i < liczbaPodzialow; i++) {
double srodek = poczatek + (i + 0.5) * szerokosc;
suma += funkcja(srodek) * szerokosc;
}
return suma;
}
double przykladowaFunkcja(double x) {
return sin(x);
}
int main() {
double poczatek, koniec;
int liczbaPodzialow;
cout << "Podaj początek przedziału: ";
cin >> poczatek;
cout << "Podaj koniec przedziału: ";
cin >> koniec;
cout << "Podaj liczbę podprzedziałów: ";
cin >> liczbaPodzialow;
double wynik = obliczCalkeProstokatna(przykladowaFunkcja, poczatek, koniec, liczbaPodzialow);
cout << "Wynik całkowania: " << wynik << endl;
return 0;
}